QUADRADO, HEXÁGONO E TRIÂNGULO REGULAR

Quadrado
Considere uma circunferência de centroO e raio de
medidar.
Para construir um quadradoABCD inserido nessa
circunferência, traçamos dois diâmetros perpendiculares
entre si (AC eBD), determinando o vértices do quadrado.
Vamos calcular a medida do lado e do apótema desse
quadrado em função der.

Cálculo da medida do lado


No∆AOB, pelo teorema de Pitágoras,temos:
L²=r²+r²
l=2r²
l=√2r²
l4=r√2

FÓRMULA :l4 = r√2


Cálculo da medida do apótema (a4)


No∆OMB, pelo teorema de Pitágoras,temos:
a4 = L4/2

FÓRMULA: a4 = r√2/2


Hexágono regular inscrito

Considere uma circunferência de centro O e raio de medidar.
Para construir um hexágono regular ABCDEF inscrito nessa
circunferência, dividimos a circunferência em seis arcos congruentes e, a
seguir, unimos consecutivamente os pontos de divisão.
Vamos calcular a medida do lado e do apótema desse hexágono em
função de r.


Cálculo da medida do lado (l6)

L6 = r


Cálculo do apótema:

a²=(r/2)² = r²
a²= r²-r²/4
a²=4r²-r²/a
a²= 3r³/4
a= √3r²/4

FÓRMULA: A= √3R²/√4


Triângulo eqüilátero inscrito

Considere uma circunferência de centroO e raio medida r.

Para construir um triângulo eqüiláteroAB C inscrito nessa circunferência, dividimos a circunferência em seis arcos congruentes e, a seguir, unimos alternadamente os pontos de divisão.
Vamos calcular a medida do lado e do apótema desse triângulo em função de r.
Cálculo da medida do lado (l3)

Cálculo da medida do lado (l³)

l2+r²=(2r²)
l2= 4r²-r²
2²= 3r²
l= r√3

FÓRMULA: l³= r√3

Cálculo da medida do apótema (a³)

FÓRMULA: a³= r/2

RELAÇÕES MÉTRICAS NOS POLIGONOS REGULARES

1. Polígono inscrito e polígono circunscrito em uma circunferência

Quando os vértices de um polígono estão sobre uma circunferência (figura 1),
dizemos que:

• o polígono está inscrito na circunferência;

• a circunferência está circunscrita ao polígono.
Quando os lados do polígono são tangentes a uma circunferência (figura 2),
dizemos que:

• o polígono está circunscrito à circunferência;

• a circunferência está inscrita no polígono



2. Polígonos regulares

Um polígono é chamado de eqüiângulo quando possui todos os ângulos internos
congruentes, e eqüilátero quando possui todos os lados congruentes.
Exemplos:

a) O retângulo tem todos os ângulos internos congruentes.
Logo, o retângulo é eqüiângulo.



Propriedade dos polígonos regulares

• Se uma circunferência for dividida em três ou mais arcos congruentes, então
as cordas consecutivas formam um polígono regular inscrito na circunferência.

• Se uma circunferência for dividida em três ou mais arcos congruentes, então
as tangentes aos pontos consecutivos de divisão formam um polígono regular
circunscrito à circunferência.

Na circunferência ao lado, traçamos dois diâmetros perpendiculares entre si. A
circunferência ficou dividida em quatro arcos congruentes.


As cordas consecutivas
formam um quadrado
inscrito na circunferência



As tangentes pelos pontos de divisão formam um quadrado circunscrito à circunferência.


Desse modo, podemos dizer que, se um polígono é regular, então existe um
circunferência que passa por todos os seus vértices e uma outra que
tangencia todos os seus lados.


• Todo polígono regular é inscritível numa circunferência.

•Todo polígono regular é circunscritível a uma circunferência.



Elementos de um polígono regular

Se um polígono é regular, consideramos:
•Centro do polígono é o centro da circunferência
circunscrita a ele (ponto O).
•Raio do polígono é o raio da circunferência circunscrita a ele (OC).
• Apótema do polígono é o segmento que une o
centro do polígono ao ponto médio de um de seus
lados (OM)
•Ângulo central é aquele cujo vértice é o centro do
polígono e cujo lados são semi-retas que contêm
dois raios consecutivos (CÔD)

RELAÇÃO ENTRE DUAS CORDAS CONCORRENTES EM UMA CORCUNFERÊNCIA

A CIRCUNFERÊNCIA E SEUS ELEMENTOS

Circunferência

A circunferência pode ser considerada uma linha curva fechada, onde a distância entre a extremidade e qualquer ponto da mesma possui medida igual.


Corda

Dada uma circunferência de centro O a pontos A, B, C e D pertencentes a ela, temos os seguintes elementos: AB e CD.
Os segmentos AB e CD têm suas extremidades nessa circunferência. Dizemos que os segmentos determinados por dois pontos quaisquer da circunferência são cordas da circunferência.



Raio

Distância compreendida entre o centro e a extremidade da circunferência.


Diâmetro

Com base na figura anterior note que o segmento CD (corda) passa pelo centro da circunferência e se transforma no diâmetro da circunferência, também chamado de corda máxima.

Diâmetro da circunferência

É fácil perceber que a medida do diâmetro é o dobro da medida do raio. Se chamarmos D a medida do diâmetro e r a medida do raio, temos a seguinte relação:
D = 2 * r


Arco

Considere agora esta circunferência:


Observe que os pontos A e B dividem a circunferência em duas partes. Cada uma dessas partes é chamada arco de circunferência.


Reta secante: Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contém uma corda.



Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto P. Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura ao lado, o ponto P é o ponto de tangência e a reta que passa pelos pontos E e F é uma reta tangente à circunferência.


Ângulo inscrito: relativo a uma circunferência é um ângulo com o vértice na circunferência e os lados secantes a ela. Na figura à esquerda abaixo, o ângulo AVB é inscrito e AB é o arco correspondente.



Medida do ângulo inscrito: A medida de um ângulo inscrito em uma circunferência é igual à metade da respectiva medida do ângulo central, ou seja, a metade de seu arco correspondente, isto é:

m = n/2 = (1/2) m(AB)


Ângulo central: Em uma circunferência, o ângulo central é aquele cujo vértice coincide com o centro da circunferência. Na figura, o ângulo a é um ângulo central. Se numa circunferência de centro O, um ângulo central determina um arco AB, dizemos que AB é o arco correspondente ao ângulo AÔB.

TEOREMA DE PITÁGORAS

O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática, ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, medindo 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. Observe:

Catetos: a e b
Hipotenusa: c


O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”

a² + b² = c²

Exemplo 1
Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.


x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
√x² = √225
x = 15

ESBOÇO DO GRÁFICO

Quando o discriminante é igual a zero

Quando o valor de , o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A coordenada y será igual a zero.

Exemplo: y=f(x)=x²+2x+1

x²+2x+1=0

x=x`=-b/2a=-1

As coordenadas do vértice serão V=(-1,0)

Gráfico:



Quando o discrimintante é maior que zero

Quando o valor de , a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. (São as raízes ou zeros da função vistos anteriormente).

Exemplo: y = f(x) = x²-4x+3



Gráfico:




Quando o discriminante é menor que zero

Quando o valor de , a parábola não intercepta o eixo x. Não há raízes ou zeros da função.

Exemplo: y = f(x) = x²-x+2



Gráfico:





ESBOÇANDO O GRÁFICO :
Para finalizarmos (ufa!), vamos desenhar o gráfico da função
y=-x²-4x-3

1ª etapa: Raízes ou zeros da função

-x²-4x-3=0
Aplicando a fórmula de Bháskara
x=-1, x`=-3

2ª etapa: Coordenadas do vértice

Coordenada x (=-b/2a): -(-4)/2.(-1)=-2

Coordenada y: Basta substituir o valor de x obtido na função
y = -x²-4x-3 = -(-2)²-4.(-2)-3 = -4+8-3 = 1

Portanto, V=(-2,1)

3ª etapa: Concavidade da parábola

y=-x²-4x-3

Como a=-1<0, a concavidade estará voltada para baixo

Feito isso, vamos esboçar o gráfico:

COORDENADAS DO VÉRTICE

A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por .

Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=x²-4x+3

Temos: a=1, b=-4 e c=3



Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y?

Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y.

Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola
y=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2.

y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1

Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1)

Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o valor da coordenada x (através de x=-b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y!!!

FUNÇÃO DO 2º GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA

A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo:
y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e

Exemplos:

a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )

b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )

c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )

Gráfico de uma função do 2º grau:
O gráfico de uma função quadrática
é uma parábola

Sua representação gráfica é dada em torno de eixos:



Raízes (ou zeros) da função do 2º grau

Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula.

y=f(x)=0

Exemplo: na função y=x²-4x+3, que acima acabamos de determinar as coordenadas de seus vértices, as raízes da função serão x=1 e x`=3.

Vejamos o gráfico:


Notem que quando x=1 e x`=3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x.

Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau?

Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau, já vista na seção anterior.

Exemplo: determine a raiz da função y=x²+5x+6:

Fazendo y=f(x)=0, temos x²+5x+6=0

Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara.

x²+5x+6=0

TABELA DE ÂNGULOS NOTÁVEIS

CALCULANDO MEDIDAS DESCONHECIDAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Os estudos trigonométricos possuem uma relação muito importante com o Teorema de Pitágoras, pois através de sua aplicação determinamos valores de medidas desconhecidas. O teorema de Pitágoras é uma expressão que pode ser aplicada em qualquer triângulo retângulo (triângulo que tem um ângulo de 90°).




a = hipotenusa
b = cateto
c = cateto

O teorema de Pitágoras diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

a2 = b2 + c2

Podemos utilizar esse teorema para facilitar o cálculo da diagonal de um quadrado e altura de um triângulo equilátero (triângulo com os lados iguais).

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

O triângulo é a figura mais simples e uma das mais importantes da Geometria, ele é objeto de estudos desde os povos antigos. O triângulo possui propriedades e definições de acordo com o tamanho de seus lados e medida dos ângulos internos. Quanto aos lados, o triângulo pode ser classificado da seguinte forma:

Equilátero: possui os lados com medidas iguais.
Isósceles: possui dois lados com medidas iguais.
Escaleno: possui todos os lados com medidas diferentes.

Quanto aos ângulos, os triângulos podem ser denominados:

Acutângulo: possui os ângulos internos com medidas menores que 90º
Obtusângulo: possui um dos ângulos com medida maior que 90º.
Retângulo: possui um ângulo com medida de 90º, chamado ângulo reto.

No triângulo retângulo existem algumas importantes relações, uma delas é o Teorema de Pitágoras, que diz o seguinte: “A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”. Essa relação é muito importante na geometria, atende inúmeras situações envolvendo medidas.

As relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo admitem três casos: seno, cosseno e tangente.




Vamos determinar as relações de acordo com o triângulo BAC com lados medindo a, b e c.




senoB = b/a
cossenoB = c/a
tangenteB = b/c

senoC = c/a
cossenoC = b/a
tangenteC = c/b

A trigonometria possui diversas aplicações no cotidiano, abrange áreas relacionadas à Astronomia, Física, Geometria, Navegação entre outras.

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

- Para que dois triângulos sejam semelhantes todos os ângulos devem ser congruentes.
- Para achar os lados correspondentes, pega-se o lado oposto ao ângulo pedido.



Exemplo: Quanto vale x?



Resolução:

Como todos os ângulos são iguais, os dois triângulos são semelhantes. Assim:

5/2 = 8/ x

x = 16/ 5

Resposta: x vale 16/5

TEOREMA DE TALES NO TRIÂNGULO

O Teorema de Tales possui diversas aplicações no cotidiano, constituindo uma importante ferramenta da Geometria no cálculo de distâncias inacessíveis e nas relações envolvendo semelhança entre triângulos.

Exemplos:
Calcule o comprimento da ponte que deverá ser construída sobre o rio, de acordo com o esquema a seguir.



De acordo com a figura temos um triângulo ABC e o segmento DE dividindo o triângulo, sendo formado o triângulo ADE. As informações que temos são as medidas dos seguintes segmentos: AD = 10m, AE = 9m, EC = 18m e DB = x. O valor de DB será determinado através do Teorema de Tales que diz: “retas paralelas cortadas por transversais formam segmentos proporcionais.” Desse modo, podemos estabelecer a seguinte relação:




Portanto, a ponte terá 20 metros de comprimento.

RETAS PARALELAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL

De acordo com Tales de Mileto, quando um feixe de retas paralelas for cortado por duas ou mais transversais, todos os segmentos formados nessas transversais serão proporcionais.

Transversal é o nome dado à reta que cruza as retas paralelas.
OBS: Pode haver mais de 1 transversal.

SEGMENTOS PROPORCIONAIS

Feixe de retas paralelas
Feixe de retas paralelas são os conjuntos que possuem três ou mais retas coplanares e paralelas, entre si.

Transversal

Transversal é qualquer reta que cruza as retas de um feixe de paralelas.

Segmentos correspondentes

Segmentos correspondentes são dois segmentos determinados pela intersecção de duas transversais com o mesmo par de retas paralelo de um feixe de paralelas, e denominado correspondentes.

Exemplo:



Na figura acima temos:
• As retas r, s, t e u determinam um feixe de retas paralelas.

• As retas a e b são transversais.

• Os segmentos AB e PQ, por exemplo, são correspondentes.

A IMPORTÂNCIA DA MATEMÁTICA PARA SOCIEDADE

A Matemática, apesar de ser considerada chata e difícil, é uma das disciplinas mais importante para qualquer aluno. E ela não é importante pela aritmética do dia a dia, mas sim, o desenvolvimento do raciocínio. É óbvio que não utilizaremos metade de todos esses assuntos que aprendemos na escola para nossa vida, mas com a Matemática ganhamos a concentração. O raciocínio que temos de desenvolver para a resolução dos problemas Matemáticos pode, e deve ser utilizado em muitas outras áreas do conhecimento e da nossa vida e é o maior benefício que esta disciplina traz ao comum dos cidadãos.

O QUE PRECISAMOS SABER PARA COMPREENDERMOS TODOS ESSES ASSUNTOS

- Equação do 1º grau
- Equação do 2º grau
- Potência
- Fração
- Produto notável
- Raíz quadrada

EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS REDUTÍVEIS

São todas as equações com variável no denominador.

Exemplo:
- 2 + x = 0
x-1

Sendo x diferente de 1, pois o denominador não pode ser 0 (1-1=0)

Como resolvê-las?

1. Calcula-se o MMC
2. Elimina-se os denominadores
3. Reduz-se a equação

ATIVIDADE SOBRE EQUAÇÕES BIQUADRADAS COM GABARITO

a) 3x4 - 102x2 + 675 = 0
S= {-5, -3, 3 e 5}

b) x4 + 4x2 - 60 = 0
S= {√6, -√6}

c) -x4 + 11x2 - 28 = o
S= {2, -2, √7, -√7}

d) 2x4 - 12x2 - 14 = 0
S= {√7, -√7}

EQUAÇÕES BIQUADRADAS

Toda equação tem uma forma geral que a representa, as equações biquadradas possuem a seguinte forma:

ax4 + bx2 + c = 0

Sendo que a, b e c podem assumir qualquer valor real desde que a seja diferente de zero. Veja alguns exemplos de equações biquadradas.

2x4 + 5x2 – 2 = 0; a = 2, b = 5, c = -2

-x4 – x = 0; a = -1, b = -1, c = 0

x4 = 0; a = 1, b = 0, c = 0

Observando as equações biquadradas percebemos uma de suas características: são equações onde os expoentes das suas incógnitas são sempre pares.

Para resolver esse tipo de equação é preciso substituir as incógnitas, tornando-a uma equação do segundo grau, veja os exemplos abaixo e compreenda como resolver passo a passo uma equação biquadrada.

Exemplo:

Resolva a equação biquadrada (x2 – 1) (x2 – 12) + 24 = 0. Devemos organizá-la primeiro, ou seja, tirar os parênteses e unir os termos semelhantes.

(x2 – 1) (x2 – 12) + 24 = 0
x4 – 12x2 – x2 + 12 + 24 = 0
x4 – 13x2 + 36 = 0

Agora devemos substituir a incógnita x2 por y.

x2 = y

x4 – 13x2 + 36 = 0
x2 . x2 – 13x2 + 36 = 0

y2 – 13y + 36 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau encontraremos como resultados de y’ e y’’ respectivamente os valores 9 e 4, como a incógnita da equação biquadrada é x, substituímos os valores de y na igualdade x2 = y e obteremos os respectivos valores de x.

Para y = 9
x2 = y
x2 = 9
x = ±√9
x = ± 3

Para y = 4
x2 = y
x2 = 4
x = ±√4
x = ±2

Portanto, a solução dessa equação biquadrada será {-3, -2, 2, 3}.

ATIVIDADE SOBRE EQUAÇÃO IRRACIONAL COM GABARITO

a) 2√x+1 +2=x
S= {8}

b) 3x=√2x
S= {0; 0,22222...}

c) √10-2x -7=x
S= {0}

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇAO IRRACIONAL

A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando transformá-la inicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos os membros da equação a uma potência conveniente.

Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se as raízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da equação irracional dada ( verificar a igualdade).

É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação a uma potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à equação dada.

Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais.

• 

Solução

Logo, S= {58}.

INTRODUÇÃO DE EQUAÇÃO IRRACIONAL

Considere as seguintes equações:

Observe que todas elas apresentam variável ou incógnita no radicando. Essas equações são irracionais.

Ou seja: Equação irracional é toda equação que tem variável no radicando.