segunda-feira, 21 de junho de 2010

A IMPORTÂNCIA DA MATEMÁTICA PARA SOCIEDADE

A Matemática, apesar de ser considerada chata e difícil, é uma das disciplinas mais importante para qualquer aluno. E ela não é importante pela aritmética do dia a dia, mas sim, o desenvolvimento do raciocínio. É óbvio que não utilizaremos metade de todos esses assuntos que aprendemos na escola para nossa vida, mas com a Matemática ganhamos a concentração. O raciocínio que temos de desenvolver para a resolução dos problemas Matemáticos pode, e deve ser utilizado em muitas outras áreas do conhecimento e da nossa vida e é o maior benefício que esta disciplina traz ao comum dos cidadãos.

O QUE PRECISAMOS SABER PARA COMPREENDERMOS TODOS ESSES ASSUNTOS

- Equação do 1º grau
- Equação do 2º grau
- Potência
- Fração
- Produto notável
- Raíz quadrada

EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS REDUTÍVEIS

São todas as equações com variável no denominador.

Exemplo:
- 2 + x = 0
x-1

Sendo x diferente de 1, pois o denominador não pode ser 0 (1-1=0)

Como resolvê-las?

1. Calcula-se o MMC
2. Elimina-se os denominadores
3. Reduz-se a equação

ATIVIDADE SOBRE EQUAÇÕES BIQUADRADAS COM GABARITO

a) 3x4 - 102x2 + 675 = 0
S= {-5, -3, 3 e 5}

b) x4 + 4x2 - 60 = 0
S= {√6, -√6}

c) -x4 + 11x2 - 28 = o
S= {2, -2, √7, -√7}

d) 2x4 - 12x2 - 14 = 0
S= {√7, -√7}

EQUAÇÕES BIQUADRADAS

Toda equação tem uma forma geral que a representa, as equações biquadradas possuem a seguinte forma:

ax4 + bx2 + c = 0

Sendo que a, b e c podem assumir qualquer valor real desde que a seja diferente de zero. Veja alguns exemplos de equações biquadradas.

2x4 + 5x2 – 2 = 0; a = 2, b = 5, c = -2

-x4 – x = 0; a = -1, b = -1, c = 0

x4 = 0; a = 1, b = 0, c = 0

Observando as equações biquadradas percebemos uma de suas características: são equações onde os expoentes das suas incógnitas são sempre pares.

Para resolver esse tipo de equação é preciso substituir as incógnitas, tornando-a uma equação do segundo grau, veja os exemplos abaixo e compreenda como resolver passo a passo uma equação biquadrada.

Exemplo:

Resolva a equação biquadrada (x2 – 1) (x2 – 12) + 24 = 0. Devemos organizá-la primeiro, ou seja, tirar os parênteses e unir os termos semelhantes.

(x2 – 1) (x2 – 12) + 24 = 0
x4 – 12x2 – x2 + 12 + 24 = 0
x4 – 13x2 + 36 = 0

Agora devemos substituir a incógnita x2 por y.

x2 = y

x4 – 13x2 + 36 = 0
x2 . x2 – 13x2 + 36 = 0

y2 – 13y + 36 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau encontraremos como resultados de y’ e y’’ respectivamente os valores 9 e 4, como a incógnita da equação biquadrada é x, substituímos os valores de y na igualdade x2 = y e obteremos os respectivos valores de x.

Para y = 9
x2 = y
x2 = 9
x = ±√9
x = ± 3

Para y = 4
x2 = y
x2 = 4
x = ±√4
x = ±2

Portanto, a solução dessa equação biquadrada será {-3, -2, 2, 3}.

sábado, 19 de junho de 2010

ATIVIDADE SOBRE EQUAÇÃO IRRACIONAL COM GABARITO

a) 2√x+1 +2=x
S= {8}

b) 3x=
√2x
S= {0; 0,22222...}

c) √10-2x -7=x
S= {0}

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇAO IRRACIONAL

A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando transformá-la inicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos os membros da equação a uma potência conveniente.

Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se as raízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da equação irracional dada ( verificar a igualdade).

É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação a uma potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à equação dada.

Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais.

Solução

Logo, S= {58}.

INTRODUÇÃO DE EQUAÇÃO IRRACIONAL

Considere as seguintes equações:

Observe que todas elas apresentam variável ou incógnita no radicando. Essas equações são irracionais.

Ou seja: Equação irracional é toda equação que tem variável no radicando.

ATIVIDADE SOBRE SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES COM GABARITO

a) x²-6x+11=0
S= 6
P= 11

b) 3x²-9x+36=0
S= 3
P= 12

c) 4x²+12x=0
S= -3
P= O

d) 5x-10=x²
-x²+5x-10=0
S= 5
P= 10

e) 10x²-20=0
S= 0
P= -2

PRODUTO DAS RAÍZES

Multiplicando as duas raízes:
x’ . x”



Portanto, o produto das duas raízes de uma equação do segundo grau é o mesmo que:
x’ . x” = c
a

Além de utilizarmos a fórmula de Bháskara para encontrarmos o valor de x’ e x”, podemos utilizar o produto e a soma das raízes, veja como:

Dada a equação x2 – 7x + 10 = 0. Para encontrar a soma e o produto de suas raízes não é necessário que saibamos qual é o valor delas, mas devemos retirar da equação os seus coeficientes.
a = 1
b = - 7
c = 10



Chegamos a duas conclusões: a soma dessas raízes será 7 e o produto delas será 10. Por tentativas podemos encontrar números que multiplicados resultem em 10.
5 . 2 = 10

(-5) . (-2) = 10

1 . 10 = 10

(-1) . (-10) = 10

Desses produtos deve-se escolher aquele que se somarmos os seus fatores encontraremos como resultado 7.
5 + 2 = 7

Portanto, x’ = 5 e x” = 2

SOMA DAS RAÍZES

Somando as duas raízes:
x’ + x”



- b - √∆ - b + √∆ +√∆ e -√∆ cancelam, pois sua soma será zero.
2a

-2b :2
2a :2

-b
a

Portanto, somar as duas raízes de uma equação do segundo grau é o mesmo que:
x’ + x” = -b
a

INTRODUÇÃO DE SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES

Na resolução de uma equação do 2º grau temos três possibilidades de resultados, podemos encontrar duas raízes reais diferentes, duas raízes reais iguais ou nenhuma raiz real.

Quando existir raiz real na resolução de equações do 2º grau, podemos fazer relações entre essas raízes, como: soma (x’ + x”) e produto (x’ . x”).

Para provarmos a soma e o produto de duas raízes reais de uma equação do 2º grau devemos partir da sua forma geral:

ax2 + bx + c = 0
Dessa forma geral, podemos encontrar duas raízes reais x’ e x”, utilizando Bháskara.

ATIVIDADE SOBRE SISTEMA DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS COM GABARITO

a) {x-y=3
{x²+y²=5

S= {(2; -1), (1; -2)}


b) {xy=1
{4x-y=0

S= {(1 , 2), (- 1 , -2)}
2 2



c) {2x+5y=4
{x²-y²=5

S= {(-3; 2), (47; - 2)}
21 21



d) {x(y-2)=3
{2x-y= 2-¹

S= {O}

segunda-feira, 14 de junho de 2010

SISTEMA DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS

A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações.

ex: {x-y= 1 I
{x²+y²= 6 II
x= 1+y III

Utilizamos o método da substituição

=> Substituindo III em II

(1+y)²+y²=5
(1)²+2.(1).(y)+(y)²+y²=5
1+2y+y²+y²-5=0
2y²+2y-4=0


=> Formou-se uma equação do 2º grau. Então, resolvemos.
∆= (2)²-4.(2).(-4)
∆= 4+32
∆= 36
y= -2±√36 : 2.2

y¹= -2+6 : 4

y¹= 4:4

y¹= 1

y²= -2-6 :4

y²= -8 : 4

y²= -2

=> Substituimos y¹= 1 na incógnita I

x-(1)= 1

x-1= 1

x= 1+1

x= 2

=> Substituimos y²= -2 na incógnita I

x-(-2)= 1

x+2= 1

x= 1-2

x= -1

S= {2, 1; -1, -2}

(Enquanto x= 2, y= 1; enquanto x= -1, y= -2)

REGRAS BÁSICAS

- Cada assunto deverá ter no mínimo6 exemplos com suas definições;

- Apresentar aplicabilidade de cada assunto no dia-a-dia;

- Elencar os assuntos pré-requisitados dos assuntos estudados na II unidade;

- Apresentar quantidade de visitantes na página;

- Construir um texto mostrando a importância da Matemática para sociedade, demonstrando pontos positivoa de sua aprendizagem.