QUADRADO, HEXÁGONO E TRIÂNGULO REGULAR

Quadrado
Considere uma circunferência de centroO e raio de
medidar.
Para construir um quadradoABCD inserido nessa
circunferência, traçamos dois diâmetros perpendiculares
entre si (AC eBD), determinando o vértices do quadrado.
Vamos calcular a medida do lado e do apótema desse
quadrado em função der.

Cálculo da medida do lado


No∆AOB, pelo teorema de Pitágoras,temos:
L²=r²+r²
l=2r²
l=√2r²
l4=r√2

FÓRMULA :l4 = r√2


Cálculo da medida do apótema (a4)


No∆OMB, pelo teorema de Pitágoras,temos:
a4 = L4/2

FÓRMULA: a4 = r√2/2


Hexágono regular inscrito

Considere uma circunferência de centro O e raio de medidar.
Para construir um hexágono regular ABCDEF inscrito nessa
circunferência, dividimos a circunferência em seis arcos congruentes e, a
seguir, unimos consecutivamente os pontos de divisão.
Vamos calcular a medida do lado e do apótema desse hexágono em
função de r.


Cálculo da medida do lado (l6)

L6 = r


Cálculo do apótema:

a²=(r/2)² = r²
a²= r²-r²/4
a²=4r²-r²/a
a²= 3r³/4
a= √3r²/4

FÓRMULA: A= √3R²/√4


Triângulo eqüilátero inscrito

Considere uma circunferência de centroO e raio medida r.

Para construir um triângulo eqüiláteroAB C inscrito nessa circunferência, dividimos a circunferência em seis arcos congruentes e, a seguir, unimos alternadamente os pontos de divisão.
Vamos calcular a medida do lado e do apótema desse triângulo em função de r.
Cálculo da medida do lado (l3)

Cálculo da medida do lado (l³)

l2+r²=(2r²)
l2= 4r²-r²
2²= 3r²
l= r√3

FÓRMULA: l³= r√3

Cálculo da medida do apótema (a³)

FÓRMULA: a³= r/2

RELAÇÕES MÉTRICAS NOS POLIGONOS REGULARES

1. Polígono inscrito e polígono circunscrito em uma circunferência

Quando os vértices de um polígono estão sobre uma circunferência (figura 1),
dizemos que:

• o polígono está inscrito na circunferência;

• a circunferência está circunscrita ao polígono.
Quando os lados do polígono são tangentes a uma circunferência (figura 2),
dizemos que:

• o polígono está circunscrito à circunferência;

• a circunferência está inscrita no polígono



2. Polígonos regulares

Um polígono é chamado de eqüiângulo quando possui todos os ângulos internos
congruentes, e eqüilátero quando possui todos os lados congruentes.
Exemplos:

a) O retângulo tem todos os ângulos internos congruentes.
Logo, o retângulo é eqüiângulo.



Propriedade dos polígonos regulares

• Se uma circunferência for dividida em três ou mais arcos congruentes, então
as cordas consecutivas formam um polígono regular inscrito na circunferência.

• Se uma circunferência for dividida em três ou mais arcos congruentes, então
as tangentes aos pontos consecutivos de divisão formam um polígono regular
circunscrito à circunferência.

Na circunferência ao lado, traçamos dois diâmetros perpendiculares entre si. A
circunferência ficou dividida em quatro arcos congruentes.


As cordas consecutivas
formam um quadrado
inscrito na circunferência



As tangentes pelos pontos de divisão formam um quadrado circunscrito à circunferência.


Desse modo, podemos dizer que, se um polígono é regular, então existe um
circunferência que passa por todos os seus vértices e uma outra que
tangencia todos os seus lados.


• Todo polígono regular é inscritível numa circunferência.

•Todo polígono regular é circunscritível a uma circunferência.



Elementos de um polígono regular

Se um polígono é regular, consideramos:
•Centro do polígono é o centro da circunferência
circunscrita a ele (ponto O).
•Raio do polígono é o raio da circunferência circunscrita a ele (OC).
• Apótema do polígono é o segmento que une o
centro do polígono ao ponto médio de um de seus
lados (OM)
•Ângulo central é aquele cujo vértice é o centro do
polígono e cujo lados são semi-retas que contêm
dois raios consecutivos (CÔD)

RELAÇÃO ENTRE DUAS CORDAS CONCORRENTES EM UMA CORCUNFERÊNCIA

A CIRCUNFERÊNCIA E SEUS ELEMENTOS

Circunferência

A circunferência pode ser considerada uma linha curva fechada, onde a distância entre a extremidade e qualquer ponto da mesma possui medida igual.


Corda

Dada uma circunferência de centro O a pontos A, B, C e D pertencentes a ela, temos os seguintes elementos: AB e CD.
Os segmentos AB e CD têm suas extremidades nessa circunferência. Dizemos que os segmentos determinados por dois pontos quaisquer da circunferência são cordas da circunferência.



Raio

Distância compreendida entre o centro e a extremidade da circunferência.


Diâmetro

Com base na figura anterior note que o segmento CD (corda) passa pelo centro da circunferência e se transforma no diâmetro da circunferência, também chamado de corda máxima.

Diâmetro da circunferência

É fácil perceber que a medida do diâmetro é o dobro da medida do raio. Se chamarmos D a medida do diâmetro e r a medida do raio, temos a seguinte relação:
D = 2 * r


Arco

Considere agora esta circunferência:


Observe que os pontos A e B dividem a circunferência em duas partes. Cada uma dessas partes é chamada arco de circunferência.


Reta secante: Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contém uma corda.



Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto P. Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura ao lado, o ponto P é o ponto de tangência e a reta que passa pelos pontos E e F é uma reta tangente à circunferência.


Ângulo inscrito: relativo a uma circunferência é um ângulo com o vértice na circunferência e os lados secantes a ela. Na figura à esquerda abaixo, o ângulo AVB é inscrito e AB é o arco correspondente.



Medida do ângulo inscrito: A medida de um ângulo inscrito em uma circunferência é igual à metade da respectiva medida do ângulo central, ou seja, a metade de seu arco correspondente, isto é:

m = n/2 = (1/2) m(AB)


Ângulo central: Em uma circunferência, o ângulo central é aquele cujo vértice coincide com o centro da circunferência. Na figura, o ângulo a é um ângulo central. Se numa circunferência de centro O, um ângulo central determina um arco AB, dizemos que AB é o arco correspondente ao ângulo AÔB.

TEOREMA DE PITÁGORAS

O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática, ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, medindo 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. Observe:

Catetos: a e b
Hipotenusa: c


O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”

a² + b² = c²

Exemplo 1
Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.


x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
√x² = √225
x = 15

ESBOÇO DO GRÁFICO

Quando o discriminante é igual a zero

Quando o valor de , o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A coordenada y será igual a zero.

Exemplo: y=f(x)=x²+2x+1

x²+2x+1=0

x=x`=-b/2a=-1

As coordenadas do vértice serão V=(-1,0)

Gráfico:



Quando o discrimintante é maior que zero

Quando o valor de , a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. (São as raízes ou zeros da função vistos anteriormente).

Exemplo: y = f(x) = x²-4x+3



Gráfico:




Quando o discriminante é menor que zero

Quando o valor de , a parábola não intercepta o eixo x. Não há raízes ou zeros da função.

Exemplo: y = f(x) = x²-x+2



Gráfico:





ESBOÇANDO O GRÁFICO :
Para finalizarmos (ufa!), vamos desenhar o gráfico da função
y=-x²-4x-3

1ª etapa: Raízes ou zeros da função

-x²-4x-3=0
Aplicando a fórmula de Bháskara
x=-1, x`=-3

2ª etapa: Coordenadas do vértice

Coordenada x (=-b/2a): -(-4)/2.(-1)=-2

Coordenada y: Basta substituir o valor de x obtido na função
y = -x²-4x-3 = -(-2)²-4.(-2)-3 = -4+8-3 = 1

Portanto, V=(-2,1)

3ª etapa: Concavidade da parábola

y=-x²-4x-3

Como a=-1<0, a concavidade estará voltada para baixo

Feito isso, vamos esboçar o gráfico:

COORDENADAS DO VÉRTICE

A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por .

Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=x²-4x+3

Temos: a=1, b=-4 e c=3



Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y?

Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y.

Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola
y=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2.

y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1

Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1)

Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o valor da coordenada x (através de x=-b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y!!!

FUNÇÃO DO 2º GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA

A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo:
y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e

Exemplos:

a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )

b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )

c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )

Gráfico de uma função do 2º grau:
O gráfico de uma função quadrática
é uma parábola

Sua representação gráfica é dada em torno de eixos:



Raízes (ou zeros) da função do 2º grau

Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula.

y=f(x)=0

Exemplo: na função y=x²-4x+3, que acima acabamos de determinar as coordenadas de seus vértices, as raízes da função serão x=1 e x`=3.

Vejamos o gráfico:


Notem que quando x=1 e x`=3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x.

Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau?

Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau, já vista na seção anterior.

Exemplo: determine a raiz da função y=x²+5x+6:

Fazendo y=f(x)=0, temos x²+5x+6=0

Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara.

x²+5x+6=0

TABELA DE ÂNGULOS NOTÁVEIS

CALCULANDO MEDIDAS DESCONHECIDAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Os estudos trigonométricos possuem uma relação muito importante com o Teorema de Pitágoras, pois através de sua aplicação determinamos valores de medidas desconhecidas. O teorema de Pitágoras é uma expressão que pode ser aplicada em qualquer triângulo retângulo (triângulo que tem um ângulo de 90°).




a = hipotenusa
b = cateto
c = cateto

O teorema de Pitágoras diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

a2 = b2 + c2

Podemos utilizar esse teorema para facilitar o cálculo da diagonal de um quadrado e altura de um triângulo equilátero (triângulo com os lados iguais).