QUADRADO, HEXÁGONO E TRIÂNGULO REGULAR

Quadrado
Considere uma circunferência de centroO e raio de
medidar.
Para construir um quadradoABCD inserido nessa
circunferência, traçamos dois diâmetros perpendiculares
entre si (AC eBD), determinando o vértices do quadrado.
Vamos calcular a medida do lado e do apótema desse
quadrado em função der.

Cálculo da medida do lado


No∆AOB, pelo teorema de Pitágoras,temos:
L²=r²+r²
l=2r²
l=√2r²
l4=r√2

FÓRMULA :l4 = r√2


Cálculo da medida do apótema (a4)


No∆OMB, pelo teorema de Pitágoras,temos:
a4 = L4/2

FÓRMULA: a4 = r√2/2


Hexágono regular inscrito

Considere uma circunferência de centro O e raio de medidar.
Para construir um hexágono regular ABCDEF inscrito nessa
circunferência, dividimos a circunferência em seis arcos congruentes e, a
seguir, unimos consecutivamente os pontos de divisão.
Vamos calcular a medida do lado e do apótema desse hexágono em
função de r.


Cálculo da medida do lado (l6)

L6 = r


Cálculo do apótema:

a²=(r/2)² = r²
a²= r²-r²/4
a²=4r²-r²/a
a²= 3r³/4
a= √3r²/4

FÓRMULA: A= √3R²/√4


Triângulo eqüilátero inscrito

Considere uma circunferência de centroO e raio medida r.

Para construir um triângulo eqüiláteroAB C inscrito nessa circunferência, dividimos a circunferência em seis arcos congruentes e, a seguir, unimos alternadamente os pontos de divisão.
Vamos calcular a medida do lado e do apótema desse triângulo em função de r.
Cálculo da medida do lado (l3)

Cálculo da medida do lado (l³)

l2+r²=(2r²)
l2= 4r²-r²
2²= 3r²
l= r√3

FÓRMULA: l³= r√3

Cálculo da medida do apótema (a³)

FÓRMULA: a³= r/2

RELAÇÕES MÉTRICAS NOS POLIGONOS REGULARES

1. Polígono inscrito e polígono circunscrito em uma circunferência

Quando os vértices de um polígono estão sobre uma circunferência (figura 1),
dizemos que:

• o polígono está inscrito na circunferência;

• a circunferência está circunscrita ao polígono.
Quando os lados do polígono são tangentes a uma circunferência (figura 2),
dizemos que:

• o polígono está circunscrito à circunferência;

• a circunferência está inscrita no polígono



2. Polígonos regulares

Um polígono é chamado de eqüiângulo quando possui todos os ângulos internos
congruentes, e eqüilátero quando possui todos os lados congruentes.
Exemplos:

a) O retângulo tem todos os ângulos internos congruentes.
Logo, o retângulo é eqüiângulo.



Propriedade dos polígonos regulares

• Se uma circunferência for dividida em três ou mais arcos congruentes, então
as cordas consecutivas formam um polígono regular inscrito na circunferência.

• Se uma circunferência for dividida em três ou mais arcos congruentes, então
as tangentes aos pontos consecutivos de divisão formam um polígono regular
circunscrito à circunferência.

Na circunferência ao lado, traçamos dois diâmetros perpendiculares entre si. A
circunferência ficou dividida em quatro arcos congruentes.


As cordas consecutivas
formam um quadrado
inscrito na circunferência



As tangentes pelos pontos de divisão formam um quadrado circunscrito à circunferência.


Desse modo, podemos dizer que, se um polígono é regular, então existe um
circunferência que passa por todos os seus vértices e uma outra que
tangencia todos os seus lados.


• Todo polígono regular é inscritível numa circunferência.

•Todo polígono regular é circunscritível a uma circunferência.



Elementos de um polígono regular

Se um polígono é regular, consideramos:
•Centro do polígono é o centro da circunferência
circunscrita a ele (ponto O).
•Raio do polígono é o raio da circunferência circunscrita a ele (OC).
• Apótema do polígono é o segmento que une o
centro do polígono ao ponto médio de um de seus
lados (OM)
•Ângulo central é aquele cujo vértice é o centro do
polígono e cujo lados são semi-retas que contêm
dois raios consecutivos (CÔD)

RELAÇÃO ENTRE DUAS CORDAS CONCORRENTES EM UMA CORCUNFERÊNCIA